Scusami Max ma che significa "senza estremizzare"?
Io "a naso giuridico" direi che l'INAIL corrisponde solo per gli infortuni relativi alla mansione (e mi sembra giusto sia così... visto che è un'assicurazioine e che si basa su calcoli statistici che non possono prevedere anche casistiche tanto differenti)
Ricordiamoci anche che se il lavoratore svolge funzioni diverse è anche giusto, diciamo, che se ne prenda la responsabilità (senza sempre assumere di essere parte debole nel rapporto e quindi di dover accettare tutto, volendo esser comunque tutelato)

In sostanza: se avessi un euro in tasca e dovessi scommettere lo metterei sul fatto che su mansioni diverse da quelle contrattuali non sei tutelato.
Ma ancor di più direi che su questioni delicate come queste è assolutamente bene chiedere a chi dia risposte certe