Molto semplice,
crei una banalissima routine che scrive del testo su di un file, e dentro nel tuo programma chiami la routine dicendogli cosa deve scrivere nel file di log.

Ad esempio potrebbe essere:
codice:
Private Sub LogWrite(ByVal Testo As String)

        My.Computer.FileSystem.WriteAllText("....ilnomedelfile.log", _
            DateTime.Now.ToString("dd\/MM\/yyyy HH\:mm\:ss") & " " & _
            Testo & vbCrLf, True)

    End Sub
Poi nel tuo codice chiami la routine:
codice:
....
LogWrite("sto per aprire il database")
....
Try
   Database.open()
   LogWrite("Database aperto")
Catch
    LogWrite("Errore apertura database. Errore ............... ")
End Try
LogWrite("caricamento form principale")
...
... e così via
Sergio