quarda è molto semplice :
ti do giusto due info per iniziare

http://jquery.com/download/

scarica la libreria, è un file js.

questa poi la includi nella tua pagina web.

crei un semplice bottone :

<input type="button" onclick="call_ajax()" value="test">

poi includi questa funzione ajax

codice:
function call_ajax(){
                $.ajax({
                    type: "POST",
                    url: "tua_pagina .php",
                    dataType: "html",
                    data: "dato1=" + $("#dato1").val() + "&dato2=" + $("dato2").val(),
                    async: true,
                    cache: false, 
                    timeout:30000,
                    success: function(html){
                              alert(html);
                    }
                });
}
allora, nel campo url ci metti la tua pagina che stampa il risultato.
questo :
data: "dato1=" + $("#dato1").val() + "&dato2=" + $("dato2").val(),

server per comporre il $_POST, in sostanza gli dico di passare alla pagina indicata nell'url il dato $_POST['dato1'], recuperandolo dalla input chiamata dato1 (in questo modo $("#dato1").val() )