cambia questo blocco
codice:
 if (AjaxObject.readyState == 4)
        {
            AjaxObject.status == 200 ? AjaxText.innerHTML = AjaxObject.responseText : AjaxText.innerHTML = "Si è verificato un errore nel tentativo di usare AJAX";
            document.body.style.cursor = "default";
        }
        else
        {
            document.body.style.cursor = "wait";
        }
con questo
codice:
 if (AjaxObject.readyState == 4)
        {
            AjaxObject.status == 200 ? AjaxText.innerHTML = AjaxObject.responseText : AjaxText.innerHTML = "Si è verificato un errore nel tentativo di usare AJAX";
if(AjaxObject.responseText == "Non lasciare vuoto"){document.getElementById('nome_utente').className = "rosso";}
            document.body.style.cursor = "default";
        }
        else
        {
            document.body.style.cursor = "wait";
        }