Tutte le funzioni mysql_ sono state deprecate già da tempo e cercandole su php.net c'è un box rosso enorme in cima che dice che saranno definitivamente rimosse in futuro, forse nemmeno troppo lontano.

Il tutorial del link è vecchissimo.

Io consiglierei l'implementazione di un sistema di login internamente ad un framework o se proprio hai un motivo per realizzare qualcosa da zero (per esempio stai studiando il linguaggio) rimpiazza tutte le funzioni deprecate ed implementa un'architettura OOP.

Ciao