Come fai a dire che mail() ti restituisce false?
Da come hai scritto l'if/else, non puoi sapere cosa restituisce mail(), la condizione che sai se è vera o falsa è
if (($risposta["nome"]==0) && ($risposta["email"]==0) && ($risposta["oggetto"]==0) && ($risposta["messaggio"]==0))

e qui mail() non interviene nella decisione.