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però la stringa continua ad apparire su un rigo solo quando io vorrei che andasse a capo.
Quando una riga è molto lunga e la larghezza della textarea è insufficiente, il fatto di andare a capo oppure no dipende dalla proprietà "lineWrap" (get/setLineWrap). Per default è false, ovvero non va a capo.

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Per questo ti vorrei chiedere se esiste un'opzione da settare per rendere la JTextArea non "ampliabile" con una scrollbar e "costringendo" la stringa a essere suddivisa in più righe
Innanzitutto, JTextArea (come altri componenti potenzialmente "grandi", es. JTable) si mette di norma come view in un JScrollPane. Le policy di visualizzazione delle due scrollbar in JScrollPane sono configurabili (le opzioni sono 3: "mai", "sempre" e "solo se necessario").

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come si fa a cambiare il design (che mi sembra sia impostato su "Nimbus")
Il Nimbus esiste da Java 6 update 10 ma non è quello di "default". Il predefinito è il "Metal" con tema "Ocean".
Per cui se è impostato il Nimbus vuol dire che qualcosa/qualcuno l'ha impostato esplicitamente, o "programmaticamente" (con del codice) o al lancio della applicazione tramite una apposita system-property.

Se vuoi sapere come toglierlo .... guarda comunque, per capire, come si fa ad impostarlo!
https://docs.oracle.com/javase/tutor...el/nimbus.html

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In più ovviamente si è creata una scrollbar orribile.
Il Nimbus in generale è molto bello e curato .... peccato che le scrollbar siano parecchio brutte (per i miei gusti). Non mi sono mai piaciute .... e vedo che non sono l'unico!