Una cosa "furba" può essere quella di avere una stringa letterale "aeiou" e un array int[] di 5 elementi. Ogni carattere in input lo cerchi nella stringa delle vocali (indexOf), se trovi l'indice, lo usi per incrementare il corrispondente contatore.
Questa correlazione tra gli indici la puoi usare sia nel conteggio, sia per i risultati.