Ciao.
è possibile aggiungere un altro evento
Parli di "evento" ma non capisco cosa c'entri. Presumo tu stia confondendo tale termine con ciò che realmente stai richiedendo. Parlerei in generale di "un qualche script" o, al massimo, una "funzione", ma l'evento resta sempre quello: "onClick".

Preciso che personalmente terrei separato lo script dal codice HTML. Generalmente non è una buona pratica mischiare le due cose.
Ad ogni modo l'argomento divagherebbe rispetto alla tua semplice richiesta, per cui, lasciando le cose come stanno, puoi provare una cosa del genere:
codice:
<textarea onClick="var pos=this.value.length; this.value+='StringAggiunta'; this.setSelectionRange(pos, pos);"></textarea>
Tieni presente che la funzione setSelectionRange è possibile che sia non supportata su alcuni browser. Nel caso si potrebbe integrare un'alternativa. Puoi prendere spunto da questo script http://www.sitepoint.com/jqueryhtml5...sor-positions/ o da altri simili reperibili facilmente con qualche ricerca.