Se effettivamente le cose stanno così, il problema di certo non è PHP visto che viene gestito dal server e non dal browser.
Da dove prendi $user? Magari da un cookie?
In tal caso potrebbe essere che Chrome sia impostato per non accettare i cookies, quindi $user resta vuoto e di conseguenza la query non recupera alcun utente, il risultato è che $obj non è un oggetto.
Edit/P.S.:
$connessione = $db;
questa assegnazione non serve, usa direttamente $db