Ciao, si può fare in svariati modi, dipende dal contesto in cui vuoi ottenere quel risultato.

Personalmente gestirei il tutto tramite css, evitando in particolare l'uso di attributi di formattazione (come align), a prescindere che si tratti dello sviluppo di un sito o meno.

La tua prova non funziona perché l'elemento paragrafo è un elemento di blocco che, in genere, si estende per tutta la larghezza disponibile del contenitore. Per cui, nonostante il testo dentro i blocchi si allinei secondo quanto hai definito, gli stessi due blocchi vanno comunque a portarsi uno sotto l'altro, perché altrimenti dovrebbero accavallarsi.

Una soluzione potrebbe essere quella di impostare una larghezza del 50% (o giù di lì) per i due paragrafi, quindi impostargli opportunamente il float e il text-align:
codice:
<!DOCTYPE HTML>
<html>
  <head>
    <title>Esempio</title>
    <meta charset="utf-8">
    <style type="text/css">
      html,body{
        margin: 0;
        padding: 0;
       }
      p{
        width: 50%;
        border: 1px solid #888;
        box-sizing: border-box;
      }
      .sx{
        float: left;
        text-align: left;
      }
      .dx{
        float: right;
        text-align: right;
      }
    </style>
  </head>
  <body>
    <p class="sx">TESTO A SINISTRA</p><p class="dx">TESTO A DESTRA</p>
  </body>
</html>
Ho specificato il bordo giusto per farti capire il meccanismo.

Se si tratta comunque di testi su singola riga potresti usare, in modo relativamente più semplice, degli span con il float:
codice:
<!DOCTYPE HTML>
<html>
  <head>
    <title>Esempio</title>
    <meta charset="utf-8">
    <style type="text/css">
      .sx{ float: left; }
      .dx{ float: right; }
    </style>
  </head>
  <body>
    <span class="sx">TESTO A SINISTRA</span><span class="dx">TESTO A DESTRA</span>
  </body>
</html>
Occhio però che in questo caso, eventuali elementi che seguono, potrebbero "incastrarsi" tra i due span, proprio per via della loro caratteristica flottante. In questo caso si dovrebbe valutare opportunamente la questione; ma senza conoscere il contesto è impossibile determinare le eventuali scelte da adoperare. Nel caso, sarebbe opportuno che tu fornissi maggiori dettagli su come e dove vuoi applicare quella roba.