Per prima cosa verifica che effettivamente viene richiamata la pagina php (ti stampa Thank You! dopo il submit?).

Secondo, stai testando in locale? Perchè la mail() non fa altro che richiamare il programma di invio mail impostato nel file di impostazione di php.
Se non hai nessun mail server non potrai inviare nessuna mail.
Creati una pagina php e metti solo
Codice PHP:
<?php
   phpinfo();
Chiamala da browser e cerca sendmail e vedrai a quale eseguibile è ossociato. Ovviamente tale eseguibile deve essere un mail server.