problema con query al db

[Nexus0100]

Ciao, allora i define() che ho inserito io servono solo per creare le variabili da usare per la connessione al database, era solo per farti vedere come stabilire la connessione con mysqli che è più recente di mysql.
Il codice

$result = $conn -> query($query); 

praticamente prendo la connessione ($conn) e tramite l'espressione lambda (penso sia la stessa anche se in c# viene scritta così => ) che chiama la funzione query(), la quale passatogli una stringa contenente la query la esegue.
Perciò dalla connessione chiamo la funzione query che esegue la query passatogli, il risultato viene posto nella variabile $result.
Dopo di che per sapere il numero di righe ottenute mi basta fare

$result -> num_rows 

e il risultato è pari al numero di righe.
Nel tuo caso non mi pare sia sbagliato il codice anche se deprecato, ma è più probabile ci sia un errore nella query... Dunque ti consiglio di provare così:
Vai su PHPMyAdmin e in alto nel menu c'è una sezione chiamata SQL da li puoi eseguire le query direttamente su DATABASE, in questo modo lanciando la tua query

SELECT * FROM user WHERE user = 'username' AND psw = 'password';

sostituendo ovviamente le variabili PHP con ciò che dovrebbe esserci, e cliccando esegui vedi il risultato della query e se ci sono errori.
Se non ci dovessero essere errori allora il problema è nel codice...
Nel frattempo ti consiglio di fare queste prove

P.S. Sinceramente a me sembra strano che nella tua query sia scritto FROM user WHERE user, questo vorrebbe dire che nella tabella user c'è un campo chiamato user, può darsi che questo dia il conflitto, forse potresti fare FROM user WHERE user.user per specificare il campo user della tabella user. Ma può darsi che questo non sia necessario...