Benvenuto, ma questa domanda con PHP non c'entra niente e secondo me neanche con html.
Se tutti i browser che hai provato sono impostati per la navigazione anonima, oppure per non salvare i dati dei form è normale che sia così.
Al limite metti un attributo name anche al tag form e nell'action mettici #
Se così non risolvi, chiedi nella sezione software relativa al tuo sistema operativo, perché non penso sia un problema di programmazione.
