Per prima cosa dovresti includere PHPMailerAutoload.php invece che i due file. Ci pensa poi l'autoload a caricare i file richiesti.

Poi sembra che il server smtp a cui ti colleghi non ha un certificato valido: se vedi il link che hai postato c'č proprio l'errore che ricevi e se non ho capito male dipende da php 5.6 che fa i controlli in modo diverso (magari in locale hai una versione di php diversa e per questo funziona)