Prova con questo, c'era un errosa su una delle if subito dopo $privacy = 1.

Poi comunque c'erca di evitare gli else, puoi risolvere la generazione degli errori anche in altro modo.

Codice PHP:
function isValidEmail($email) {
    return eregi("^[_a-z0-9-]+(\.[_a-z0-9-]+)*@[a-z0-9-]+(\.[a-z0-9-]+)*(\.[a-z]{2,3})$", $email);
}

if (isset($_POST['submit'])) {
    $nome = $_POST['nome'];
    $email = $_POST['email'];
    $messaggio = $_POST['messaggio'];
    $privacy = $_POST['privacy'];
    if (!empty($nome)) {
        if (!empty($email)) {
            if (isValidEmail($email)) {
                if (!empty($messaggio)) {
                    if ($privacy = 1) {
                        if ($response = file_get_contents('https://www.google.com/recaptcha/api/siteverify?secret=secretKEY&response=' . $_POST['g-recaptcha-response'] . '&remoteip=' . $_SERVER['REMOTE_ADDR'])) {
                            $responseDecoded = json_decode($response);
                        }
                        if ($responseDecoded->success == false) {
                            $testo_del_messaggio = "Nome: $nome\n";
                            $testo_del_messaggio .= "Email: $email\n";
                            $testo_del_messaggio .= "Messaggio: $messaggio\n";
                            $testo_del_messaggio .= "Privacy: $privacy\n";
                            $esito = mail("email_azienda@azienda.com", "Messaggio di $nome ($email)", $testo_del_messaggio);
                            if ($esito) {
                                echo "Esito: Messaggio inviato, ripsonderemo appena possibile!";
                            } else {
                                echo "Errore: Non è stato possibile inviare il messaggio!";
                            }
                        } else {
                            echo "Errore: Il Codice di verifica non è corretto!";
                        }
                    } else {
                        echo "Errore: Bisogna dare il consenso sulla Privacy!";
                    }
                } else {
                    echo "Errore: Manca il Messaggio!";
                }
            } else {
                echo "Errore: Formato Email non corretto!";
            }
        } else {
            echo "Errore: Manca un indirizzo Email!";
        }
    } else {
        echo "Errore: Manca il Nome!";
    }
} else {
    echo "Errore: Modulo di invio non valido!";
}