La cosa mi ha incuriosito... ho provato sul mio server locale il tuo codice e funziona (togliendo gli apici che racchiudono i parametri).

Ti incollo il mio codice:

$db = new PDO("mysql:host=localhost;dbname=test;charset=utf8 ", "root", "*****");


//Inserisco i dati dei campi input in variabili
$nome = "ciccio";
$cognome = "pasticcio";
$nascita = "09101978";
$rif_genitore = "pppp";
$email = "asdadasd";


//Imposto la query
$sql = "INSERT INTO tbl_anag(id_anag, nome, cognome, data_nascita, rif_genitore, email)
VALUES
(default, :nome, :cognome, :data_nascita, :rif_genitore, :email)";




//Faccio il prepare
$stmt = $db->prepare($sql);




$stmt->bindValue (':nome', $nome, PDO::PARAM_STR);
$stmt->bindValue (':cognome', $cognome, PDO::PARAM_STR);
$stmt->bindValue (':data_nascita', $nascita, PDO::PARAM_STR);
$stmt->bindValue(':rif_genitore', $rif_genitore, PDO::PARAM_STR);
$stmt->bindValue(':email', $email, PDO::PARAM_STR);




$stmt->execute();