Agiungo qualche altra cosa.
Usare nome e cognome per recuperare i dati di una persona non è una buona scelta, che fai se ci sono 2 o più Mario Rossi? I dati di chi prendi? Come fai a decidere quale sia quello giusto? In questi casi va usato un id univoco, solitamente l'indice della tabella che contiene i dati delle persone.
Se proprio non vuoi usare get, e quindi non userai neanche dei link, puoi usare AJAX, ma devi saperlo fare e a quanto dici è una cosa che attualmente non conosci.
Con AJAX dovresti comunque creare un pulsante o altro elemento HTML che contenga come informazione l'id della persona, al click di tale elemento devi avere una funzione Javascript da chiamare e che recuperi l'id dell'elemento cliccato.
La funzione JS dovrà inserire l'id in un parametro POST (visto che non vuoi usare GET) ed inserirlo all'interno di una richiesta verso lo script elabora.php
Usando AJAX però resterai sulla stessa pagina, quindi non verrà visualizzata la pagina elabora.php, questa dovrà in questo caso solo recuperare i dati della persona e restituirli alla chiamata AJAX, la quale a sua volta dovrà occuparsi di mostrarli sulla pagina corrente (la stessa nella quale hai cliccato il pulsante o chi per esso).
Se hai domande riguardo l'uso di AJAX, chiedi nella sezione Javascript, perché non è argomento PHP.
A mio avviso ti stai solo complicando la vita non volendo usare un link con parametri GET.

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