No, le chiamate AJAX sono asincrone e non determinano l'apertura di una nuova pagina, AJAX si usa appositamente per evitare di ricaricare le pagine e fare tutto sulla stessa in cui risiede la funzione.
Al limite dovresti poi eseguire un redirect da JS passando però anche i dati che hai ricevuto da elabora.php, che sarebbe un'implementazione da fucilazione sul posto.

Lascia perdere AJAX e tutto il resto, passa l'id tramite GET alla pagina elabora.php
Tutti i siti da qualche parte passano parametri nell'URL, pericolosi o no dipende da come poi li gestisci nel codice PHP, devi validare i dati che arrivano, per esempio se usi un id, verifica che ti arrivi un numero intero positivo e non altro.