Google ti obbliga ad usare le sua api, hai meno flessibilità e sei costretto ad usare un servizio esterno ma puoi comunque customizzare ricerca e risultati come vuoi tu.

Elastic invece puoi hostarlo come preferisci ed integrarlo nel tuo progetto, sicuramente ti permette una customizzazione maggiore ma è anche molto più complicato da settare e mantenere.

Io fossi in te userei le api Google, se poi vedi che ti "costringono" troppo prova Elastic.