Metti un tot numero di righe nel form e sotto un pulsante che ne aggiunge una nuova ogni volta che viene premuto.
Il nome dei campi dovrà quindi essere un array, quindi del tipo name="campo[]", in tal modo nello script si può ciclare con un foreach su tutti i campi compilati.

Il pulsante che aggiunge nuove righe ci fa con Javascript, quindi chiedi nell'altra sezione per maggioni informazione, in PHP non si può fare.