Ciao, ho delle novità, sono riuscito a capire grazie all'intervento dell'utente M4V1 che usando ajax non mi legge la funzione connection() che contiene tutti i parametri di connessione, quindi li ho riportati direttamente dentro la funzione interessata:

ecco il codice modificato in functions.php

Codice PHP:
if (isset($_POST['id']))  {
    
$funzione $_POST['funzione'];
    
$elimina $_POST['id'];
    switch (
$funzione) {
            case 
"delServIntServ"
            
delServIntServ($elimina);           
            break;   
    }
}

function 
delServIntServ($elimina) {
        
$host="localhost";
        
$user="root";
        
$pass=""
        
$db="gestcustomers";           
        
$conn mysqli_connect($host$user$pass$db); 
        if (!
$conn) {
            exit(
"Database non connesso");
        }
        else {
            
$query mysqli_query($conn"SELECT id_serv FROM date_serv WHERE id_serv='$elimina'");
            
$arrQuery mysqli_fetch_row($query);
            
$arrNums count($arrQuery);

            if (
$arrNums == 0) {
                
$query mysqli_query($conn"DELETE FROM servizi WHERE id='$elimina'");

                if (!
$query) {
                    print 
"Errore eliminazione record.";
                }
                else {

                    print 
"Record eliminato.";  
                }
            }
            else {
                    print 
"Impossibile eliminare record, il servizio è ancora associato ad almeno un Cliente.";

                }
        }
    } 
Ora mi chiedo, è mai possibile che debba riportare tutti i dati in ogni funzione che interagisca con Ajax? Io non credo, sapreste aiutarmi?

Grazie mille.