[Java Swing] creazione di popup in basso a destra dello schemo - Windows

[andbin]

Come faccio a creare questo programma che venga eseguito standalone (.exe, non dall'IDE Eclipse)

Innanzitutto Java NON crea un .exe. Il formato archivio standard per le classi/risorse è il jar. E un jar si può facilmente "lanciare" usando un JDK/JRE.
Esistono dei tool di terze parti che permettono di creare dei "launcher nativi" (.exe su Windows) per poter avviare una applicazione Java. Ma questo comunque dovrebbe essere l'ultima delle tue questioni.

e che dopo un certo evento

Che tipo di evento?

faccia comparire questa finestra di popup in basso a destra dell schermo in Windows?

Questo è perfettamente possibile. Presumo (come è tipico per notifiche di questo tipo) che la finestra la vuoi senza le decorazioni (le decorazioni sono barra titolo, pulsantini ecc...).
Basta prendere locazione/dimensione del workspace (quindi a meno della taskbar del sistema) e poi piazzare una finestra come JWindow (che è senza decorazioni) ad una certa locazione/dimensione. Se poi vuoi dargli una "animazione", che so ... che sbuchi dal basso progressivamente, è fattibile, sarebbe tutta logica a tuo carico chiaramente.