Ciao, innanzi tutto per settare o leggere lo session storage non dovresti usare direttamente sessionStorage.NAME ma usare correttamente i metodi :
codice:
sessionStorage.setItem('nome', valore)
sessionStorage.getItem('nome')
A meno che quel sessionStorage che usi non sia un wrapper di qualcosa di custom che hai fatto.
A parte qusto le funzioni Ajax di jQuery sonon asyncrone e quindi tutto quello che viene eseguito al di fuori di queste (quindi fuori dal tuo function success) viene eseguito subito senza attendere che success appunto abbia terminato.
Al secondo giro trovi i valori assegnati perchè fra un esecuzione e l'altra banalmente e' stata eseguita la prima assegnazione tramite success