Grazie mille del prezioso aiuto
Effettivamente convertendo la stringa in data mi fa usare le proprietà data e mi fa aggiungere i 4 giorni famosi.
Il problema si manifesta quando all'interno della prima funzione datepicker provo ad usare un altro .datepicker, dove mi dà quell'errore strano inst.settings undefined, in pratica qua:

codice:
...
$('input#data_al').datepicker('setDate', date);
...
è di sicuro un problema della versione del datepicker solo che essendo dentro un template preso da themeforest mi viene complesso capire quale versione è...
La cosa strana è che se io estrapolo il comando setDate = date e lo metto diciamo esterno al datepicker funziona e imposta la data.

Della serie così non va:

codice:
        $('input#arrivo_d').datepicker({startDate: "<%=date+1%>"}).on("changeDate", function (e) {
          var dt_arrivo_string = $(this).val();
          var arrivo_d = new Date(dt_arrivo_string.substring(3, 5) + '/' + dt_arrivo_string.substring(0, 2) + '/' + dt_arrivo_string.substring(6, 10));
          arrivo_d.setDate(arrivo_d.getDate() + 4);
          $('input#partenza_d').datepicker('setDate', arrivo_d);
        });
così funziona ma ovviamente ho bisogno di calcolare la data alla selezione della precedente:

codice:
        $('input#arrivo_d').datepicker({startDate: "<%=date+1%>"}).on("changeDate", function (e) {
          var dt_arrivo_string = $(this).val();
          var arrivo_d = new Date(dt_arrivo_string.substring(3, 5) + '/' + dt_arrivo_string.substring(0, 2) + '/' + dt_arrivo_string.substring(6, 10));
          arrivo_d.setDate(arrivo_d.getDate() + 4);        
        });

$("input#partenza_d").datepicker('setDate', '01/01/2020');
quindi il "comando" setDate è supportato per così dire ma è come se gli dessero fastidio .datepicker annidati