Inserimento elementi in un array.

[andbin]

1. Come faccio a far si che il secondo artista che l'utente inserisce si vada ad aggiungere nell'array e non sovrascriva quello già inserito?

Un problema di "design" è che l'indice i che usi per indirizzare nell'array è LOCALE all'interno del creaArtisti. Questo vuol dire che se dal main invochi in ciclo più volte il creaArtisti .... semplicemente l'indice riparte ogni volta da zero!
Lo risolvi modificando il design generale (devi rifare un po' di cose) ....

2. Volevo chiedervi anche come cambiare il formato della data, poiché quello da me inserito non mi permette di scrivere la data tipo 27/09/1990.

Un altro problema è che hai gestito le date come tipo int e questo è molto .. MOLTO scomodo.
Anche qui, devi cambiare le cose.

3. In fine se voglio ad esempio che premendo la lettera e si cancella un elemento come fare?

Dovrai, presumibilmente, chiedere all'utente quale artista vuole eliminare, andarlo a cercare e poi rimuovere l'oggetto dall'array (vuol dire spostare correttamente indietro tutti gli elementi successivi).

Ripeto la questione principale: il problema di tutto il codice è il design sbagliato.

[Lucym80]

Salve, ok grazie: siccome sono all’inizio, mi faresti un esempio della sintassi di come scrivere il tutto? Grazie!

[andbin]

Salve, ok grazie: siccome sono all’inizio, mi faresti un esempio della sintassi di come scrivere il tutto? Grazie!

La classe Artista grosso modo va bene come struttura e concetto. A parte la questione della data, che potresti usare il "vecchio" java.util.Date o il nuovo (da Java 8) java.time.LocalDate ... dipende da cosa conosci o da cosa vuoi affrontare.

Quello che non va bene è la classe DatiArtista perché rappresenta un mix di gestione dell'array, input/output verso l'utente, parsing ecc...
Dovresti fare una classe che si occupa di gestire SOLO l'array dal punto di vista "logico". In pratica una classe che incapsula l'array (più altro eventuale) e offre i metodi "logici" per gestire l'array: inserire un artista, sapere quanti artisti ci sono, estrarre l'artista i-esimo, cercare gli artisti es. per nome, ecc...
In questa classe NON ci dovrebbe essere altro, nel senso che non dovresti fare input/output verso l'utente, niente System.out.println, niente Scanner o che altro. Solo la gestione dell'insieme di artisti.

Prova a pensarci, per dubbi chiedi (potrei anche abbozzarti del codice ma è meglio se prima ci pensi tu un attimo ..).