Buonasera e benvenuto su questo forum, prima di mettere mano al tuo codice ti propongo l'utilizzo di una soluzione già messa a punto da me, per una richiesta simile.
Qui il Pen di esempio: Simple Horizontal DropDown CSS Menu

Puoi ovviamente personalizzare il CSS secondo le tue esigenze.

Fai sapere se può andare bene quello o se preferisci mantenere ciò che hai già elaborato, in tal caso gli do uno sguardo.

Ovviamente altri utenti potrebbero intervenire per fornire eventuali altre risposte.



[MOD]
Occhio a quando posti del codice nel forum, dovresti usare gli appositi tag di formattazione (vedi regolamento di sezione). Per il momento ho corretto io, fai attenzione in futuro. Grazie per l'attenzione