Suppongo tu abbia già risolto, ad ogni modo il discorso è che devi arrivare ad un compromesso, e puoi farlo una volta che ti sono chiari i meccanismi relativi a background-attachment e background-position.

Il cover serve proprio per "forzare" la copertura dell'intero sfondo mantenendo le proporzioni originali dell'immagine; per permettere questo effetto, se le proporzioni dell'immagine non corrispondono a quelle della viewport, è più che normale che parte dell'immagine risulti tagliata, o in orizzontale o in verticale.

Attivando lo scroll al background, in alcune situazioni, come forse è nel tuo caso, è possibile che venga "risparmiato" il taglio perché, se è previsto uno scorrimento dei contenuti, il background va a spostarsi con questi, mostrando quindi quella parte che sarebbe dovuta essere tagliata.

La soluzione potrebbe essere nel background-position, cioè lasciando il cover ma posizionando lo sfondo in modo che si dia priorità alla cosiddetta "safe area" dell'immagine.

Di default il valore di background-position è "0% 0%", cioè "left top", per cui l'immagine risulta posizionata a partire dall'angolo in alto a sinistra (il punto di origine del sistema cartesiano relativo al box-model css). Il valore "center bottom" significa che l'immagine viene posizionata a partire dal basso (lungo l'asse verticale) e centrata in orizzontale. Se vuoi dare priorità alla parte alta dell'immagine, prova con "center top" (da quel che vedo nella pagina che hai linkato, è già impostato in questo modo).

E' chiaro che il discorso va poi analizzato sotto l'aspetto responsive, cioè ragionando sul fatto che il viewport può assumere svariate proporzioni tra altezza e larghezza, per cui l'immagine di sfondo, con la sua disposizione dei contenuti grafici e il suo posizionamento, va studiata in base alle varie possibili situazioni.

Buon proseguimento