Ciao e benvenuto, purtroppo la tua richiesta non è liquidabile con una semplice risposta perché l'intero processo di comunicazione tra client e server, per ciò che hai descritto, è relativamente complesso e andrebbe pertanto suddiviso in più sottoprocessi da esaminare e mettere a punto opportunamente.

In generale potrei identificare queste principali parti:
1 - Applicare un gestore di evento per la serie di pulsanti
2 - Determinare una convenzione che permetta di risolvere la richiesta al server in modo ottimale, ad es. tramite passaggio di parametri
3 - Impostare la chiamata per comunicare col server, ad es. usando AJAX per un aggiornamento dei dati in background
4 - Gestire la risposta per il successo della richiesta o per eventuali errori, quindi mostrare il risultato nella pagina

Per lo sviluppo di ciascuna di queste parti non c'è una regola fissa, bisogna capire come tu preferisci procedere a livello di ingegneria del software (vedi concetti come pulizia del codice, estensibilità, riusabilità, leggibilità), quali risorse puoi/vuoi utilizzare (ad es. vedi l'uso di librerie come jQuery per semplificare alcuni passaggi nella stesura dello script).

Personalmente procederei in questo modo:

- A ciascun tag pulsante (o in generale a ciascuna riga della tabella) applico un attributo data- che uso per passare l'id del relativo record da gestire;
- Includo jQuery;
- Con i dovuti accorgimenti applico il metodo click() alla serie di pulsanti;
- Nel callback del click() recupero l'id del record e richiamo la mia funzione approvaRichiesta(id) passandole il valore dell'id;
- Quindi avrò creato la mia funzione approvaRichiesta(id) dove avrò inserito la chiamata AJAX che avvia lo script server a cui passo il relativo id del record da gestire;
- Nell'attesa della risposta dal server, frizzo in qualche modo la pagina (o il pulsante appena cliccato) con un eventuale messaggio/segnale di attesa, così che non sia possibile accavallare più richieste contemporaneamente (un sistema più affidabile, dovrebbe comunque prevedere un controllo anche lato server);
- Al success della chiamata AJAX (quindi ad avvenuto aggiornamento del db) eseguo runtime l'aggiornamento della pagina (o, in particolare, l'aggiornamento di quella specifica riga della tabella), magari con un effetto che faccia capire che la cancellazione del record è avvenuta correttamente, quindi ripristino le funzionalità dell'intera pagina;
- Imposto la gestione di eventuali errori della chiamate AJAX, mostrando magari un opportuno effetto/messaggio che indichi la mancata cancellazione del record, eventualmente ripristino le funzionalità della pagina in modo da poter riprovare ad eseguire l'azione;

Sempre che io abbia capito il problema, prova a seguire questi punti (anche consultando i link proposti) per iniziare ad impostare qualcosa, se poi incontri problemi riporta qui i dettagli così che ti si possa eventualmente fornire indicazioni più precise su come procedere.

Buon proseguimento