non ho capito bene,
vediamo se è giusto quello che dico:
hai una tabella con una lista di nomi
inoltre in questa tabella hai un button, per ogni row della tabella, attraverso la quale tu puoi scegliere di eliminare il nome dal database?

Se è così dovresti fare in modo che il tuo button faccia riferimento ad un file php (diverso da quello usato per generare la tabella) che raccolga i tuoi dati (penso che il metodo GET vada bene) e li inserisca in una query del tipo "delete from tabella_nomi where nome_utente='$nome'". Ovviamente $nome è la variabile che hai inviato alla pagina con Get o Post nel momento in cui hai cliccato il bottone.