in due righe di codice :

JTextArea a = new JTextArea();
JScrollPane s = new JScrollPane(a,hor,vert);
e poi aggiungi s alla tua finestra anzichč aggiungere direttamente a.
i valori hor e vert possono essere rispettivamente JScrollPane.HORIZONTAL_SCROLLBAR_AS_NEEDED,
JScrollPane.HORIZONTAL_SCROLLBAR_ALWAYS,
JScrollPane.HORIZONTAL_SCROLLBAR_NEVER e
JScrollPane.VERTICAL_SCROLLBAR_AS_NEEDED,
JScrollPane.VERTICAL_SCROLLBAR_ALWAYS,
JScrollPane.VERTICAL_SCROLLBAR_NEVER a seconda di quali barre di scorrimento vuoi e quando.