Ho pensato che se il problema stava solo nel trasferimento dei dati al database access, poteva essere colpa del dataAdapter.
Ho allora provato a guardare, nelle proprietà del dataAdapter, com'era impostato l'InsertCommand e più precisamente i suoi Parameters.
Il parametro relativo al campo che volevo aggiungere era impostato come DBDate ed ho provato a cambiarlo, scegliendo fra i tipi disponibili, in Date.
Ora la cosa funziona.

Probabilmente quando il dataAdapter inviava la query di inserimento nuovo record, tagliava l'ora perchè il parametro relativo era impostato per comportarsi così. Cambiando il formato del parametro tutto è andato a posto.

Grazie per le risposte veloci che mi hai dato.