Ciao... potresti creare due sub distinte per ogni pulsante
<%@ Page Language="VB" %>
<html>
<script runat="server">
sub verificaA (obj as object , e as eventargs)
risultato.text="Ciao mondo Hai premuto1"
end sub
sub verificaB (obj as object , e as eventargs)
risultato.text="Ciao mondo Hai premuto2"
end sub

</script>
<BODY>
<form runat="server">
<asp:button ID="pulsante1" Text="Click1" OnClick="verificaA" runat="server"/>

<asp:button ID="pulsante2" Text="Click2" OnClick="verificaB" runat="server"/>


<asp:textbox ID="risultato" runat="server"/>
</form>
</BODY>
</html>

ciao