Il driver non ha estensione .zip : scompatta il file .zip e dentro ci sara' un file con estensione .jar del tipo

mysql-connector-java-3.0.7.stable-bin.jar

E' quello il driver.

Per quanto riguarda l'utilizzo di un database attraverso java e' tutto contenuto nel package

java.sql.*

della libreria standard di java.
Puoi:
- trovare un buon libro che tratti l'argomento
- fare una ricerca su questo forum con parole chiave "java" e "mysql" , troverai decine di domande che spiegano come collegarsi al database
- leggerti il readme contenuto nel file .zip (che non hai scompattato) che e' molto esaustivo e chiaro riguardo alla connessione con un database.

Una volta che hai stabilito la connessione con il database puoi continuare a usare la stessa api che usavi con ODBC per l'esecuzione delle query.