Semplice: stai dichiarando b1 e b2 nel costruttore... quindi questi due oggetti vivono finchè vive il costruttore... quando il costruttore ha terminato il suo lavoro b1 e b2 vengono deallocati...

Soluzione:

dichiara b1 e b2 al di fuori di tutti i metodi, così li puoi referenziare da qualsiasi punto all'interno della classe (ti consiglio di far questo per tutti gli oggetti, anche le stringhe, così non hai problemi):

codice:
public class Start extends JFrame implements ActionListener{ 

   JButton b1;
   JButton b2; 
   String s1;
   String s2;
   JPanel p1;

   public Start(){ 

      super("VideoStore..."); 

      s1= "Inserisci Un Nuovo Film!"; 
      s2= "Visualizza i Film Registrati!"; 

      b1=new JButton(s1); 
      b2=new JButton(s2); 

      p1=new JPanel(); 

      p1.add(b1); 
      p1.add(b2); 

      setContentPane(p1); 

      b1.addActionListener(this); 
      b2.addActionListener(this); 
   } 

   ...
}

Ciao.