non è possibile mettere la select in un div e mettere la max-width al div? se non sbaglio in questo modo la scroll dovrebbe avercela il div

non so se funziona, e non è proprio la cosa che cercavi tu, ma piuttosto che ridisegnarsela...

(scusa ma non ho tempo di provare io, altrimenti lo farei, era solo un'idea che mi è venuta)