Puoi usare i classici TextFile del Pascal, oppure servirti della classe TStringList, che poi è la stessa che viene utilizzata per memorizzare le righe dei controlli Memo:

codice:
var
  S: TStringList;
begin
  S := TStringList.Create;
  try
    S.Text := Edit1.Text;
    S.SaveToFile('filename.txt');
  finally
    S.Free;
  end;
end;
Semplice come bere un bicchier d'acqua...