Credo che devi configurare bene il file web.xml all'interno della directory web-inf altrimenti tomcat non vede le classi.
Esempio di file web.xml nel caso in cui la serrvlet di nome tuaservlet si trova nella directory classes:
codice:
<?xml version="1.0" encoding="ISO-8859-1"?>
<!DOCTYPE web-app
    PUBLIC "-//Sun Microsystems, Inc.//DTD Web Application 2.3//EN"
    "http://java.sun.com/dtd/web-app_2_3.dtd">
<web-app>
    <servlet>
        <servlet-name>tuaservlet</servlet-name>
        <servlet-class>tuaservlet</servlet-class>
    </servlet>
    
    <servlet-mapping>
        <servlet-name>tuaservlet</servlet-name>
        <url-pattern>/tuaservlet</url-pattern>
    </servlet-mapping>
</web-app>