Puoi usare le funzioni standard di Delphi, ereditate dal Pascal classico, per aprire un file di testo e accodare delle righe allo stesso. Un esempio:

codice:
procedure TForm1.SaveButtonClick(Sender: TObject);
const
  SFileName = 'Rubrica.txt';
var
  T: TextFile;
begin
  AssignFile(T, SFileName);
  Append(T);
  try
    WriteLn(T, Format('Nome: %s', [edFirstname.Text]));
    WriteLn(T, Format('Cognome: %s', [edSurname.Text]));
    WriteLn(T, Format('Numero telefono: %s', [edPhone.Text]));
    Flush(T);
  finally
    CloseFile(T);
  end;
end;
Alla pressione del pulsante di salvataggio (evento OnClick descritto sopra), viene aperto il file con il nome specificato nel codice in modalità di accodamento, vengono scritte 3 righe con i dati necessari prelevati da caselle di testo (edFirstname, edSurname, edPhone); infine, il contenuto viene salvato su disco e il file viene chiuso.

Ovviamente, modificando e personalizzando il codice puoi facilmente adeguarlo alle tue necessità.

Ciao!