Ci sono diversi errori e imprecisioni:

#include<iostream.h>
#include<string.h>

Questi header sono deprecati, usa

codice:
#include <iostream>
#include <string>
Aggiungi inoltre

codice:
using namespace std;
dopo la dichiarazione degli header.

Poi, qui

codice:
 char p;
 cout<<"Inserisci una parola\n";
 cin>>p;
Stai chiedendo all'utente di inserire una parola all'interno di un char, che e' un singolo carattere. Dichiara una variabile stringa cosi'

codice:
string p;
Infine, qui:

codice:
 char a[p];
 cout<<"Nella parola "<< p <<" ci sono "<<sizeof a<<"bit\n";
 cout<<"La lunghezza della stringa è di" <<strlen(a)<<"bit\n";
 system("pause");
 return o;
}
Parli di bit, ma in realta' sembra che tu voglia usare dei byte.
Inoltre dichiari un array di char e poi stampi la dimensione del puntatore al primo char.
Non usare strlen del C ma usa il metodo length della classe string di C++, visto che stai scrivendo codice C++.

codice:
cout << "Nella parola "<< p <<" ci sono "<< p.length() <<"caratteri" << endl;
Tieni presente infine che la lunghezza di una stringa e' equivalente alla sua dimensione in byte, in quanto un singolo carattere occupa un solo byte.

Ripassa il libro di C++!