Non so se c'è un modo perchè questo avvenga automaticamente, se puoi intervenire sul metodo che aggiunge il testo nel componente (presumo sia una JTextArea o un altro JTextComponent), puoi aggiungere alla fine di tale metodo il codice per sistemare la barra in basso. Se scroll è il JScrollPane in cui è inserito il componente di testo puoi aggiungere queste righe dopo il codice che inserisce il testo:

JScrollBar bar = scroll.getVerticalScrollBar();
bar.setValue(bar.getMaximum());

in questo modo ricavi la barra di scorrimento del JScrollPane e imposti il suo valore al massimo, che corrisponde a trascinare la barra completamente verso il basso.

Ciao.