l'odbc è (sostanzialmente) un protocollo di comunicazione
quindi chiedere se l'odbc supporta i trigger non è una domanda ben posta.
é il database che deve supportare i trigger, non il protocollo di comunicazione
Ad esempio Access (mi pare) non supporti i trigger, mentre Oracle sì
Quindi non ti resta che scoprire se il/i db su cui vuoi appoggiarti supporti/no i trigger, e nel caso scrivere il codice relativo al trigger stesso

Se vuoi creare lo stesso tipo di trigger per differenti db, allora probabilmente la sintassi cambierà, specie se bisogna fare molte operazioni oppure operazioni complesse: ogni db in pratica ha un dialetto dell'sql proprietario

una volta creati itrigger, però, il modo di comunicarlo al db rimane sempre lo stesso: ci pensa l'odbc a "tradurre" le tue richieste in maniera coerente con il db