Io di PHP ci capisco poco (lato server ho usato solo CGI in Perl), quindi non so cosa sia quell avariabile che passi.

Comunque deve essere identica a quanto contenuto nell'attributo id di un campo text:

<a href="#" onclick="Popup('$id_cliente');">

<input type='text' value='$id_cliente' ...>

Controlla sempre cosa arriva al browser: il JS utilizza quello, non quello che scrivi nel srgente PHP.

Nella funzione aggiungi gli alert:
function Popup(idv){ //Apre centrato rispetto la finestra madre
alert("parametro: "+idv);
var w = 400;
var h = 250;
var l = Math.floor((screen.width-w)/2);
var t = Math.floor((screen.height-h)/2);
var v = document.getElementById(idv).value;
alert("value: "+v);
window.open("add_contact.php?id_cliente=" + v + ",
"","width=" + w + ",height=" + h + ",top=" + t + ",left=" + l);
}

Ciao
Michele