Rettifico il codice riportato sopra (non avevo la possibilità di verificarlo quando ho scritto il messaggio): manca la chiamata al metodo Open del controllo TMediaPlayer, senza quella chiamata non è possibile aprire il dispositivo MCI appropriato per il file selezionato per riprodurlo successivamente.

codice:
procedure TDemoForm.SelAndPlayButtonClick(Sender: TObject);
begin
  if OpenDialog.Execute then
  begin
    MediaPlayer.FileName := OpenDialog.FileName;
    MediaPlayer.Open;
    MediaPlayer.Play;
  end;
end;