Con un modem, la connessione ad internet deve farla il PC a cui è collegato.
Quindi se vuoi fare una rete, il PC a cui è colegato il modem dovrà essere acceso per poter navigare con gli altri PC.

Con un router, la connessione ad internet la fa i router stesso.
Quindi i PC della tua rete potranno indifferentemete collegarsi ad internet.