Il tuo problema è molto semplice. L'evento del body "onunload" avviene ogni volta che una pagina viene scaricata. Cosa significa questo: sia che tu chiudi o che la pagina cambi nasce questo evento. Cosi se tu dalla pagina A passi a quella B ti compare sempre il messaggio di saluto.
Puoi intercettare la chiusura del browser o il cambio di indirizzo semplicemente così:
all'evento body onunload invece che il messaggio di saluto fai aprire una pop up nascosta. In questa pop up fai due controlli:
1 - controlli se la pagina padre è stata chiusa
2 - controlli che l'url non sia diverso dal tuto.
Se entrambi i caso non sono veri chiudi la pop up nascosta senza alcun altro intervento, altrimenti fai visualizzare il messaggio di saluto.

A tua disposizione per eventuali chiarimenti.