se vuoi sapere il tuo indirizzo IP pubblico (quello che vedono coloro che si connettono da internet vai al seguente indirizzo:

http://www.chisono.it/

Ti da molte informazioni, tra cui anche il tuo IP pubblico.
Se quando riavvii il modem l'IP pubblico ti cambia non hai un IP statico mea dinamico. Significa che chi vuole raggiungerti da Internet deve ogni volta sapere l'IP che è statoo assegnato ed inserrirlo come indirizzo nel browser. Se invece vuoi essere raggiungibile con un nome (es. pluto.it) devi farti registrare il dominio "pluto.it" e farti indirizzare i DNS sull'IP pubblico che hai, ma essendo dinamico, non puoi usarlo, ameno di utilizzare un servizio apposito che "informi" periodicamente i server DNS del tuo IP, rendendoti così raggiungibile con il tuo nome di dominio.

A grandi linee funziona così e come vedi non è per nulla semplice. Ovviamente è richiesto parecchio impegno e parecchie letture ...