Non ho letto bene prima e non mi sono accorto che
intendevi utilizzare un pulsante con le AWT(Button),
piuttosto che con le Swing(JButton).
I componenti SWING ed AWT non sono proprio intercambiabili.
Nel tuo codice compare un errorino:
Button button = new JButton("Premi qui.");
correggilo con:
Button button = new Button("Premi qui.");
subito dopo questa riga aggiungi questa:
mainFrame.add(button);
In questo modo aggiungi il pulsante al container
principale e finalmente puoi visualizzarlo.

ciao.