SELECT *
FROM tabella
WHERE MONTH(campo_data) = 6
AND YEAR(campo_data)= 2004

Se non metti anche l'anno ti estrae tutti i mesi di giugno di tutti gli anni presenti nel db

Al posto di campo_data puoi mettere una variabile, o un valore data esplicito, oppure una funzione tipo: NOW() o CURDATE() per la data corrente.