Nel db la data la dovresti salvare in frmto DATE. Cioe' yyyy-mm-dd.

Per estrarre i dati dei compleanni cadenti tra oggi + 7 giorni:

SELECT *
FROM tabella
WHERE campo_data BETWEEN curdate() AND CURDATE() + INTERVAL 7 DAY

Se invece intendi le date della settimana in corso

SELECT *
FROM datario
WHERE week(campo_data) = week(curdate())
AND year(campo_data) = year(CURDATE())

Se vuoi escludere le date gia' passate della settimana in corso aggiungi in fonda alla condizione WHERE

AND campo_data >= CURDATE()



Dimenticavo.... WEEK ha due parametri, il secondo puo' essere 0 oppure 1. Se 0 la settimana inizia di domenica, se 1 di lunedi'. per default come ti ho messo inizia di domenica.